Deljivost

Podsetnik za ovu oblast

Geometrijski pojmovi

1. Nacrtaj dve poluprave čiji je presek
a) prazan skup
b) tačka
c) duž
d) poluprava

2. Nacrtaj dve duži čiji je presek
a) prazan skup
b) tačka
c) duž

3. Nacrtaj dva trogla čija je unija
a) trougao
b) četvorougao
c) petougao
d) devetougao

3. Nacrtaj otvorenu izlomljenu liniju dužine 18 cm
a) bez tačaka samopresecanja
b) sa jednom tačkom samopreseka
c) sa dve tačke samopreseka

4. Nacrtaj
a) konveksan petougao
b) nekonveksan šestougao
c) konveksan sedmougao
d) nekonveksan osmougao

NAPOMENA: petougao je mnogougao sa 5 stranica, šestougao sa 6, sedmougao sa 7, ...

5. Odaberi dve tačke S i T i nacrtaj kružnice
a) k(S, 4 cm)
b) k(T, 3 cm)
c) k(S, ST)
d) k(T,TS)

6. Na pravoj p date su tačke A,B i C tako da je A-B-C, AB=5 cm i AC=7 cm. Središte duži AB je tačka D a središte duži BC je tačka E. Kolika je dužina duži DE?

7. Data je duž MN=6 cm i kružnice k(M, 2 cm) i k(N,4 cm).
a) u kom položaju su te dve kružnice?
b) ako je P središte duži MN koja je rečenica tačna
1) $P \in k(N, 4 cm)$
2) $P \in K(N, 4 cm)$
3) $P \notin K(N, 4 cm)$

8. Data su tačke A i B takve da je duž AB=10 cm. U kom su položaju kružnice
a) k(A, 6 cm) i k(B, 5 cm)
b) k(A, 4 cm) i k(B, 3 cm)
c) k(A, 12 cm) i k(B, 2 cm)
d) k(A, 7 cm) i k(B, 3 cm)
e) k(A, 14 cm) i k(B, 2 cm)

9. Data je kružnica k(X, 5 cm) i prava t. U kom položaju su kružnica i prava ako je
a) d(X, t) = 4 cm
b) d(X, t) = 8 cm
c) d(X, t) = 5 cm

NAPOMENA: d(X,t) je najkraće rastojanje tačke X do prave t.

Izrazi

Ako izraz sadrži promenljive (slova) onda ih prvo treba zameniti njihovim vrednostima.

Kod izračunavanja izraza važan je redosled izračunavanja:

1. izračunati vrednosti izraza koji su u zagradama (prvo množenja i deljenja, pa sabiranja i oduzimanja)
2. izvršiti sva množenja i deljenja
3. izvršiti sva sabiranja i oduzimanja

ZADACI

Izračunaj vrednost izraza

1. $256:4-8 \cdot 6$

2. $15 \cdot 13 +25\cdot 13 - 756:6$

3. $11 \cdot (126:9-7) - (18+19 \cdot 2) \cdot 4$

4. $(7 \cdot 8 \cdot 9 + 9):3+2 \cdot (120:2:3+1)$
5. $120:x+x:2-x \cdot 3$ ako je $x=4$
6. $y \cdot y - 2 \cdot (y+5)$ ako je $y=14$
7. $(3 \cdot (t  + t:2)):9$ ako je $t=342$
8. $a + a \cdot b - a : b$ ako je $a=161, b=7$
9. Ako je x prirodan broj
     a) predstavi izrazom broj koji je 3 puta veći od broja koji je za 3 veći od broja x
     b) izračunaj vrednost tog izraza za x=111

Skupovi - 2. deo

Presek skupova A i B je skup koji sadrži zajedničke elemente ta dva skupa.
Oznaka: $A \cap B$
Unija skupova A i B je skup koji nastaje spajanjem ta dva skupa u jedan. Prilikom spajanja treba izbaciti ponovljene elemente.
Oznaka: $A \cup B$
Razlika skupova A i B je skup koji sadrži elemente skupa A koji ne pripadaju skupu B.
Oznaka: $A \setminus B$

Komplement skupa A u odnosu na B je skup koji sadrži elemente skupa B kojih nema u A. 

Oznaka: $C_B(A)$

Drugim rečima, $C_B(A)=B \setminus A$

Venov dijagram za dva skupa

Plavom bojom obojen je skup $A \setminus B$, zelenom $B \setminus A$ a narandžastom $A\cap B$. Skup A obuhvata plavi i narandžasti deo, a B zeleni i narandžasti.

Venov dijagram za tri skupa

1 - $(A \cap B) \cap C$

2 - $(A \cap B) \setminus C$

3 - $(A \cap C) \setminus B$

4 - $(B \cap C) \setminus A$

5 - $A \setminus (B \cup C)$

6 - $B \setminus (A \cup C)$

7 - $C \setminus (A \cup B)$

Skup A obuhvata delove obeležene bojama 5,2,1 i 3.

Skup B obuhvata delove obeležene bojama 6,2,1 i 4.

Skup C obuhvata delove obeležene bojama 7,3,1 i 4.

ZADACI

1. Dati su skupovi

$A=\{ 4,9,16, 25 \},  B=\{ 2,4,6,8,14,16 \}$ 

Odredi

a) $A \cap B$

b) $A \cup B$

c) $A \setminus B$

d) $B \setminus A$

2. Dati su skupovi

$A=\{ 2,4,5,8,10,12 \},  B=\{ 1,2,6,8,9,11,12 \},   C=\{ 2,4,6,8,10 \}$ 

a) Prikaži skupove Venovim dijagramom

Odredi

b) $A \cap B$

c) $B \cup C$

d) $C \setminus A$

e) $A \cap (B \cup C)$

f) $B \setminus (A \cap C)$

3. Skupovi su prikazani Venovim dijagramom

Odredi 

a) elemente skupova A, B i C

b) $A \cap B$

c) $(B \cap C) \setminus A$

d) $(A \cup C) \setminus (B\cup C)$

4. Dati su skupovi

$A=\{ x | x \in N ~ i ~ 7<x<22 ~ i ~ x ~ je ~ paran ~ broj \}$

$B=\{ x | x \in N_0 ~i ~ x<11 \}$

$C=\{ x | x \in N ~ i ~ 3<x<13 \}$ 

Odredi:

a) $A \cap B$

b) $B \cup C$

c) $A \setminus C$

d) $C \setminus (A \cup B)$

5. U poslastičarnici gosti jedu krempite i šampite. Krempitu jede 24 osobe, šampitu 18 a oboje 7 osoba.

a) koliko ima gostiju u poslastičarnici?

b) koliko gostiju jede samo krempitu?

c) koliko gostiju jede jedan kolač (samo krempitu ili samo šampitu)?

6. Odrediti skup A ako je
$A \cap \{ 3,5,7,9 \} = \{ 3,7 \}$
$\{ 2,3,4,5,8\} \cup A = \{ 1,2,3,4,5,7,8,11 \}$

7. Odrediti sve tročlane podskupove skupa $K=\{3,4,7,9\}$

Skupovi - 1. deo

Skup je kolekcija objekata. Obeležavamo ga velikim slovima engleske abecde.
Možemo ga opisati na 3 načina:

• Venovim dijagramom: 

• nabrajanjem: {1,3,4,7,9,13}
• opisivanjem svojstva: ${x|x \in N, x<10}$

Objekat a može pripadati skupu A ili mu ne pripadati. Oznake su:

$a \in A$ ako objekat pripada skupu

$a \notin A$ ako objekat ne pripada skupu

Skup A može biti deo skupa B, ako su svi elementi skupa A u skupu B.

Kažemo da je skup A podskup skupa B i pišemo $A \subset B$.

Skup koji nema elemenata zovemo prazan skup. Zapisujemo ga simbolom $\emptyset$

Broj elemenata skupa A obeležavamo sa $n(A)$.

Oznaka N, ako se u zadatku ne naglasi drugačije, predstavlja skup prirodnih brojeva - {1,2,3,4,...}

Oznaka N₀, ako se u zadatku ne naglasi drugačije, predstavlja skup prirodnih brojeva kome je dodata nula - {0,1,2,3,4,...}

Skupovi su jednaki ako sadrže iste elemente, bez obzira na redosled navodjenja ili broj ponavaljanja jednog elementa. Koristimo oznaku: A=B.

ZADACI

1. Zapiši skup koga čine slova tvog imena i prezimena. Koliko elemenata ima taj skup?

2. Dat je skup: A={1,2,0,5,3,8,11,15,12}. Da li su tačne rečenice:
$8 \in A$
$5 \notin A$
$\{1,3,5\} \subset A$
$n(A)=9$

3. Odredi vrednost nepoznate x tako da bude A=B ako je A={2,5,9,7,3,1},   B={9, x, 1, 5,7,3}

4. Dat je skup: $B=\{x|x \in N_0 ~ i ~  x+2<18\}$. Da li su tačne rečenice:
$8 \in A$
$18 \notin A$
$\{5, 10,15\} \subset A$
 Koliko je  n(B)?

5. Ako je $A=\{x,4,8\}$ i $B=\{2,4, 8, 10\}$ odredi vrednost nepoznate x tako da bude $A\subset B$

6. Odredi sve podskupove skupa {3,7,4}

7. Dati su skupovi A={1,2,1,2} i  B={x|x je prirodan broj i x<3}. Da li je A=B?

8. Dat je skup S={2,4,7,9}. Odrediti skup T za koji važi:
n(T)=2
$T \subset S$
$2 \in T$  

Početak

Na ovom mestu pronaći ćete materijal koji prati redovnu nastavu matematike u petom razredu.

Blog uređuje nastavnik Nebojša Varnica.

D O B R O D O Š L I!